author: lyn
我们定义如下的数论函数 \(f\) 为积性函数：
\[ \forall i,j \text{ and } \gcd(i,j)=1 \text{ s.t. } f(ij)=f(i)f(j) \]
常见的积性函数有欧拉函数 \(\varphi\) ，莫比乌斯函数 \(\mu\) 等。
性质
和函数
一个函数 \(f\) 的和函数 \(F\) 定义如下：
\[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\]
若原函数 \(f\) 为积性函数，则 \(F\) 也为积性函数。
完全积性函数
若积性函数 \(f\) 满足：
\[ \forall i,j \text{ s.t. } f(ij)=f(i)f(j) \]
则称 \(f\) 为完全积性函数。
有一些常见的完全积性函数：
- \(\text{id}_k(n)=n^k\)
- \(1(n)=1\)
- \(\varepsilon(n)=[n=1]\)
对于第 \(1\) 个函数，我们一般使用其 \(k=1\) 时的形式 \(\text{id}(n)=n\) 。