分治与倍增

分治与倍增是 OI 竞赛中广泛应用的两种重要算法思想和技巧。

分治算法的核心在于将一个规模较大的问题拆解为若干个规模较小、相互独立且与原问题形式相同的子问题，分别求解这些子问题，然后将子问题的解巧妙合并，从而得到原问题的解。归并排序就是典型的分治算法，它将一个无序数组分成两个子数组，分别对两个子数组进行排序，再将排好序的子数组合并成一个有序数组。分治算法常用于解决大规模数据的处理问题，能够显著降低算法的时间复杂度。

倍增算法则巧妙利用二进制的思想，通过不断翻倍来快速求解一些需要多次递推的问题。例如，快速幂算法就是利用倍增思想，将求 \(a^n\) 的过程转化为一系列的平方和乘法操作，从而在对数时间内高效完成计算。在 RMQ（Range Minimum/Maximum Query）问题中，ST 表（Sparse Table）利用倍增思想进行预处理，使得在 \(O(1)\) 的时间复杂度内就能完成区间最值查询。分治与倍增思想为优化算法效率提供了重要思路和方法，是提升算法设计能力的关键。