插头 DP

前置知识:轮廓线DP

带有连通性记录的轮廓线DP。

插头DP的思想和理解其实并不难,难的是巨大的分类讨论与复杂的代码实现。

P5056 【模板】插头 DP

ural 1519

陈丹琦《基于连通性状态压缩的动态规划问题》中的例题。

给出 \(n\times m\) 的方格,有些格子不能铺线,其它格子必须铺,形成一个闭合回路。问有多少种铺法?

  • 对于 \(100\%\) 的数据,保证 \(2\le n,m\le 12\)
实现
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
 21
 22
 23
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 31
 32
 33
 34
 35
 36
 37
 38
 39
 40
 41
 42
 43
 44
 45
 46
 47
 48
 49
 50
 51
 52
 53
 54
 55
 56
 57
 58
 59
 60
 61
 62
 63
 64
 65
 66
 67
 68
 69
 70
 71
 72
 73
 74
 75
 76
 77
 78
 79
 80
 81
 82
 83
 84
 85
 86
 87
 88
 89
 90
 91
 92
 93
 94
 95
 96
 97
 98
 99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 298999
#define int long long
int n, m;
int lst, now;             // 滚动
int head[300000], cnt[2]; // 滚动的总合法方案数
bool mp[15][15];
// 0 1 2 没有插头 左括号 右括号
struct HashTable
{
    int sta[2], dp[2], nxt;
} Hash[300000];
void insert(int sta, int val)
{
    int key = sta % mod;
    for (int i = head[key]; i; i = Hash[i].nxt)
        if (sta == Hash[i].sta[now])
        {
            Hash[i].dp[now] += val;
            return;
        }
    ++cnt[now];
    Hash[cnt[now]].sta[now] = sta;
    Hash[cnt[now]].dp[now] = val;
    Hash[cnt[now]].nxt = head[key];
    head[key] = cnt[now];
};
struct node
{
    int s[15];
};
node unZip(int sta)
{ // 解压
    node code;
    code.s[0] = sta & 3; // 单独的竖直轮廓线
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        code.s[i] = (sta >> (i << 1)) & 3;
    return code;
}
int Zip(node code)
{ // 压缩
    int sta = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        sta |= (code.s[i] << (i << 1));
    sta |= code.s[0];
    return sta;
}
signed main()
{
    int ans = 0, Endx, Endy;
    scanf("%lld %lld", &n, &m);
    char ch[20];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%s", ch + 1);
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            if (ch[j] == '.')
                mp[i][j] = 1, Endx = i, Endy = j;
    }
    insert(0, 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            lst = now, now ^= 1, cnt[now] = 0;
            memset(head, 0, sizeof(head));
            for (int k = 1; k <= cnt[lst]; k++)
            {
                node code = unZip(Hash[k].sta[lst]);
                int Left = code.s[0], Up = code.s[j]; // 左插头 上插头 0 1 2 没有插头 左括号 右括号
                int dp = Hash[k].dp[lst];
                if (!mp[i][j])
                {
                    if (!Left && !Up)
                        insert(Zip(code), dp);
                }
                else if (!Left && !Up)
                {
                    if (mp[i + 1][j] && mp[i][j + 1])
                    {
                        code.s[0] = 2, code.s[j] = 1;
                        insert(Zip(code), dp);
                    }
                }
                else if (!Left && Up)
                {
                    if (mp[i + 1][j])
                        insert(Zip(code), dp);
                    if (mp[i][j + 1])
                    {
                        code.s[0] = Up, code.s[j] = 0;
                        insert(Zip(code), dp);
                    }
                }
                else if (Left && !Up)
                {
                    if (mp[i][j + 1])
                        insert(Zip(code), dp);
                    if (mp[i + 1][j])
                    {
                        code.s[0] = 0, code.s[j] = Left;
                        insert(Zip(code), dp);
                    }
                }
                else if (Left == 1 && Up == 1)
                {
                    // 不属于同一个连通块 都是左括号
                    // 得连起来 然后与这两个左括号匹配的右括号中较近的一个改成左括号 方法使用括号匹配
                    // 显然肯定是左插头的匹配括号在右 呈包含关系
                    int p, tot = 1;
                    for (p = j + 1; p <= m; p++)
                    {
                        if (code.s[p] == 1)
                            tot++;
                        if (code.s[p] == 2)
                            tot--;
                        if (!tot)
                            break;
                    }
                    code.s[0] = code.s[j] = 0, code.s[p] = 1;
                    insert(Zip(code), dp);
                }
                else if (Left == 2 && Up == 2)
                {
                    // 显然肯定是上插头的匹配括号在左 呈包含关系
                    int p, tot = -1;
                    for (p = j - 1; p; p--)
                    {
                        if (code.s[p] == 1)
                            tot++;
                        if (code.s[p] == 2)
                            tot--;
                        if (!tot)
                            break;
                    }
                    code.s[0] = code.s[j] = 0, code.s[p] = 2;
                    insert(Zip(code), dp);
                }
                else if (Left == 2 && Up == 1)
                {
                    code.s[0] = code.s[j] = 0;
                    insert(Zip(code), dp);
                }
                else if (Left == 1 && Up == 2)
                { // 回路形成
                    code.s[0] = code.s[j] = 0;
                    bool flag = 0; // 判断是否合法
                    for (int p = 0; p <= m && !flag; p++)
                        if (code.s[i])
                            flag = 1;
                    if (!flag && i == Endx && j == Endy)
                        ans += dp;
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}